ნამდვილი რიცხვები

            თვლის შედეგად მიღებულ რიცხვებს ნატურალური ეწოდება. ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლე აღინიშნება N ასოთი. N={1; 2; 3; 4; ...}.

            დადებით და უარყოფით მთელ რიცხვებს და ნულს მთელი რიცხვები ეწოდება. მთელ რიცხვთა სიმრავლე აღინიშნება Z ასოთი. Z={...-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; ...}.

            რიცხვს, რომელიც ჩაიწერება m/n სახით , სადაც m∈Z; n∈N, რაციონალური რიცხვები ეწოდება. რაციონალურ რიცხვთა სიმრავლე აღინიშნება Q ასოთი. Q={x|x=m/n; m∈Z; n∈N}.

            რაციონალურია რიცხვი, რომელიც ჩაიწერება უსასრულო პერიოდული ათწილადის სახით. მაგრამ არსებობს რიცხვებიც, რომლებიც არ ჩაიწერება უსასრულო პერიოდული ათწილადის სახით. მაგ.:  არ არის რაიმე რაციონალური რიცხვი, იგი ჩაიწერება უსასრულო არაპერიოდული ათწილადის სახით. რიცხვებს, რომლებიც ჩაიწერება უსასრულო არაპერიოდული ათწილადის სახით, ირაციონალური რიცხვები ეწოდება. ირაციონალურ რიცხვთა სიმრავლე I ასოთი აღინიშნება.

            რაციონალური და ირაციონალური რიცხვები ნამდვილ რიცხვებს ქმნიან. ნამდვილი რიცხვები მოიცავს ყველა ჩვენთვის ცნობილ რიცხვს. იგი აღნიშნება R ასოთი. ასე რომ რიცხვით სმრავლეებს შრის შეიძლება დამყარდეს შემდეგი დამკიდებულება: N⊂Z⊂Q⊂R⊐I.

                ნამდვილ რიცხვების შეკრებას თავისი კანონები გააჩნია:

1.      –a+(-b)=-(a+b)

2.      –a+b=-a-b

3.      –a-b=-a-(-b)

4.      –a∙(-b)=ab

5.      –a/(-b)=a/b

6.      a+b=b+a–გადანაცვლებადობა

7.      (a+b)+c=a+(b+c)–ჯუფთებადობა

8.      (a+b)c=ab+ac–განრიგებადობა

ცვლადიანი გამოსახულებების გარდაქმნა

            გამოსახულებას, რომელიც ცვლადს შეიცავს, ცვლადიანი გამოსახულება ეწოდება. ორ გამოსახულებას ეწოდება იგივურად ტოლი, თუ ისინი ტოლია ცვლადის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის. მაგ.: 2(x+y) და 2x+2y. ტოლობას, რომელიც ჭეშმარიტია ცვლადის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის, იგივეობა ეწოდება. იგივეობაა 2(x+y)=2x+2y.

            გამოსახულებას, რომელიც შეიძლება იყოს რიცხვი, ცვლადი, ცვლადის ხარისხი ან მათგან შედგენილი ნამრავლი, ერთწევრი ეწოდება. ისეთ ერთწევრს, რომელიც შეიცავს ერთ რიცხვით მამრავლს, ხოლო ერთნაირი ცვლადების ნამრავლი ჩაწერილია ხარისხის სახით, სტანდარტული სახის ერთწევრი ეწოდება. ერთწევრის რიცხვით მამრავლს კოეფიციენტი ეწოდება. ერთწევრებია: 2xy², 5, 7x და ა.შ.

ერთწევრების ჯამს მრავალწევრი ეწოდება. მრავალწევრია 2x+y; 8+7x+9y+6z². მრავალწევრში შემავალ ერთწევრებს, რომლებიც მხოლოდ კოეფიციენტებით განსხვავდებიან, მსგავსი წევრები ეწოდება. მსგავსი წევრები რომ შევკრიბოთ, საჭიროა შევკრიბოთ კოეფიციენტები, ხოლო ასოითი ნაწილი უცვლელად გადავიტანოთ. 2x+7x+5y+6y=9x+11y.

ერთწევრი რომ მრავალწევრზე გავამრავლოთ, საჭიროა მრავალწევრის თითოეული წევრი გავამრავლოთ ერთწევრზე და მიღებული შედეგები შევკრიბოთ. 2x(x+y)=2x²+2xy.

მრავლაწევრი რომ მრავალწევრზე გავამრავლოთ, ერთი მრავალწევრის თითოეული წევრი უნდა გაავმრავლოთ მეორე მრავალწევრის თითოეულ წევრზე.

            მრავალწევრის მრავალწევრზე გასამრავლებლად იყენებენ შემოკლებული გამრავლების ფორმულებს:

1.(a+b)²=a²+2ab+b²

2.(a-b)²=a²+2ab+b²

3.a²-b²=(a-b)(a+b)

4.(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

5.(a-b)³=a³-3a²b-3ab²+b³

6.a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)

7.a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)

მრავალწევრის გარდაქმნას რამდენიმე მრავალწევრის ნმარავლად მრავალწევრის მაამრავლებად დაშლა ეწოდება. არსებობს მამრავლებად დაშლის რამდენიმე ხერხი:

1.      საერთო მამრავლის ფრჩხილებს გარეთ გატანა: (a+b)x-(a+b)y=(a+b)(x-y)

2.      დაჯგუფების ხერხი: 3ab-2a-6b+4=a(3b-2)-2(3b-2)=(3b-2)(a-2)

3.      შემოკლებული გამრავლების ფორმულები, ჩაწერილი მარჯვნიდან მარცხნივ, არიან დაშლის ფორმულები: x²-12x+36-y²=(x-6)²-y²=(x-6+y)(x-6-y)

4.      წევრის დაშლის ხერხი: x²-12x+27=x²-3x-9x+27=x(x-3)-9(x-3)=(x-3)(x-9)

5.      სრული კვადრატის გამოყოფა: x²+8x+12=x²+8x+12+4-4=x²+8x+16-4=(x+4)²-4=(x-6)(x+2)

6.      კვადრატული სამწევრის დაშლა : ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂)

სიმრავლე

         სიმრავლე არის მათემატიკის პირველადი ცნება და იგი არ განიმარტება. სიმრავლე არის რაიმე ერთი ნიშნით გაერთიანებულ საგანთა, ობიექტთა ერთობლიობა. საგნებს, რომელთა ერთობლიობასაც სიმრავლე წარმოადგენს, ეწოდება სიმრავლის ელემენტები. სიმრავლე დიდი ლათინური ასოებით აღინიშნება. იმის ჩასაწერად, რომ c ეკუთვნის A სიმრავლეს, გამოიყენება ϵ სიმბოლო, ანუ cϵA.

            სიმრავლეს, რომელიც უსასრულო რაოდენობის ელემენტებისგან შედგება, უსასრულო სიმრავლე ეწოდება. მაგალითად, უსასრულოა ნატურალურ (N), მთელ (Z), რაციონალურ (Q),  ირაციონალურ (I) და  ნამდვილ (R) რიცხვთა სიმრავლეები. ორ სიმრავლეს ეწოდება ტოლი, თუ მათი ელემენტები ტოლია. მაგ.: A{1;2;3;4}=B{1;2;3;4}.

            სიმრავლეს, რომელიც არცერთ ელემენტს არ შეიცავს, ცარიელი სიმრავლე ეწოდება. იგი ∅ სიმბოლოთი აღინიშნება.

            სიმრავლის ნაწილს ქვესიმრავლე ეწოდება. მაგალითად A={1;2;3;4} და B{1;2;3;4;5;6;7}. A–ს ელემენტები შედის B–ში და ჩავწერთ: A⊂B. სიმრავლეებს თვალსაჩინოებისთვის გამოსახავენ ვენის დიაგრამებით.

სიმრავლეებზე განიხილავენ 2 მოქმედებას: თანაკვეთას და გაერთიანებას. ორი ან მეტი სიმრავლის თანაკვეთა ეწოდება მათი საერთო ელემენტებისაგან შედგენილ სიმრავლეს და აღინიშნება ∩ სიმბოლოთი. მაგალითად, A∩B={x|x∈A და x∈B}. 

ორი ან მეტი სიმრავლის გაერთიანება  ეწოდება იმ ელემენტთა სიმრავლეს, რომლებიც ერთ–ერთში მაინც შედის და აღინიშნება ∪ სიმბოლოთი. მაგალითად, A∪B={x|x∈A ან x∈B}.

            ორი სიმრავლის სხვაობა ეწოდება სიმრავლეს, რომლის ელემენტებიც შედის ერთში და არ შედის მეორეში. მაგალითად, A\B={x|x∈A; x∉B}. იმ ელემენტებისგან შედგენილ სიმრავლეს, რომლებიც რჩება სხვაობის გარეთ, ეწოდება A–ს დამატება B სიმრავლემდე.